最近ではあまり使われない表現かもしれませんが、和製英語の代表と言っても過言ではないくらい、英語では全く違う意味になってしまう表現の1つです。
ドンマイ！＝気にしないで！
ですよね？このドンマイは英語のDon’t Mindから派生したと言われていますが、「気にしないで！」は英語だとDon’t Mind!にはなりません。Don’t Mind!という表現自体が存在しません。
その代わりに
Don’t worry!
Don’t worry about it!
Forget it!
Forget about it!
No worries!
It’s not a big deal!
No big deal!
など（そうなんです、オプションがかなりたくさんあります！）を使うようにしましょう。
ちなみに
× Don’t Mind!
という掛け声はありませんが、これを
◎ I don’t mind.
とすると普通に使える英語になり「私は（どちらでも）構いません。」という意味で使うことができます。海外で相手を励まそうと思って
× Don’t mind!
と元気いっぱいに声を掛けてしまうと、自分の失敗に対してどちらでも構わないって一体どういう意味！？と思われてしまうかもしれません。取り方によっては、失敗しようがしまいが自分にはどっちでも構わないというような意味にもなりかねないので、相手に嫌な思いをさせてしまうことがあるかもしれません。
なので、ドンマイ！は英語圏では使わないと思ってしまって大丈夫です。誰かを励ましたい時や気にしなくていいよ、と言いたい時には上に挙げた例の表現がすぐに出てくるように練習してみましょう！
ちなみに間違いやすい英単語・英語表現：“I don’t mind.” vs “I don’t care.” でこの2つの表現の違いを説明していますので併せてご覧ください。